Статистический анализ размера группы пробоин

(Chris Long, AKA techshooter on the 6mmbr.com forums)

Существует интересное соотношение между точностью, присущей винтовке и размером группы, которую можно получить из неё на определённой дистанции. Настоящий материал показывает это соотношение, связывая точность винтовки с размером групп, которые она будет давать. Предоставленная в тексте таблица позволит стрелку оценить реальную точность винтовки, выраженную в угловых минутах, основываясь на результатах одной или более групп. Основное предположение, на котором основан нижеприведённый материал - это то, что мы имеем дело с упрощённой статистической моделью, не учитывающей факторы <реальной жизни>, влияющие на отклонения результатов от выстрела к выстрелу - такие как стрелок, боеприпас, ветер, расбалансированная пуля и т.д. (т.е. рассматриваются лишь погрешности в результатах стрельбы, лежащие в самой природе вещей - здесь и далее курсивом в скобках выделены примечания переводчика)

Наиболее распостранённый метод измерения размера группы

Наиболее распространённым методом определения точности конкретной винтовки является отстрел нескольких групп определённого количества выстрелов каждая и измерения удалённости друг от друга двух самых дальних пробоин в каждой группе. Предположим, что дистанция, на которой ведётся стрельба, стандартная - 100 ярдов. Стало быть, стрелок может считать размер группы (расстояние между двумя наиболее удалёнными пробоинами в группе) в величинах Угловой Минуты (MOA), поскольку на дистанции в 100 ярдов одна угловая минута приблизительно равна 1 дюйму.
Например, на рисунке 1 для трёх выстрелов на 100 ярдах размер группы равен d :

Рисунок 1- Типичный метод измерения размера группы

Эта группа из трёх выстрелов будет иметь размер в d дюймов, измерянный от центра до центра наиболее удалённых пробоин. Если, к примеру, это расстояние равно 0,75 дюйма, то говорят, что это группа в три четверти МОА. Стоит заметить, что в армии США применяется иной метод измерения, а не наш <высокоточный метод> - находится среднее расстояние всех пробоин от виртуального центра, вокруг которого расположены пробоины (иначе - от СТП) и эта величина принимается за показатель угловой точности данной винтовки. (при таком методе в среднем размер группы равен примерно одной трети от диаметра <пятна> пробоин на мишени).

Необходимо сказать, что существуют некоторые приближения в пересчёте линейных размеров (дюймов) в угловые (МОА).

Дюймы, MOA и Милы ( MIL) как едиицы измерения углового распределения попаданий

Для мишени на 100 ярдах угловой размер в 1 МОА, или 1/60 градуса, очень близок, но не равен одному дюйму:

d = 3600 x sin ( 1/60 )

d=1,0472 дюйма,
где 3600 - количество дюймов в 100 ярдах (1 ярд = 3 футам, 1 фут = 12 дюймам).

Другая часто применяемая единица измерения - Мил или милирадиан, одна тысячная радиана. В 360 градусах мы имеем 2π радиан, стало быть 1 радиан равен 0,05729 градуса:
1 MIL = 1/1000 x 180/π =0,05729º
то есть:
1 MIL=3,4377 MOA

Приближение что один дюйм равен одной МОА на 100 ярдах справедливо и используется для простоты в данном материале. Если читатель хочет пересчитать значения в MIL, то он может применить приведённый выше коэффициент пересчёта.

Большинство стрелков говорят о размере групп, как о показателе точности винтовки. На самом деле это показатель повторяемости, которую даёт эта винтовка.
Стрелок стреляет в центр мишени, целясь в определённую точку, называемую Точка Прицеливания, а результирующий центр группы пробоин - Средняя Точка Попадания или СТП, лежит обычно несколько в стороне от неё. Разница в расположении этих точек, или точнее - расстояние между ними - и есть показатель точности винтовки, эта разница должна быть минимизирована путём регулировок прицела или внесением поправок при выстреле (иначе, точность - способность винтовки принести пулю в требуемую точку). Предполагаем, что прицел может быть отстроен или стрелок при каждом выстреле переносит точку прицеливания таким образом, чтобы иметь наиболее вероятную пробоину на мишени максимально близко к требуемой СТП при каждом выстреле (к центру мишени). На эту точность могут влиять множественные факторы - такие как непостоянство навески, различия в воспламенении и скорости горения пороха, отклонения в форме и весе пуль, нагрев ствола и затворной группы, ветер и пр. В данном материале мы будем игнорировать возможные подобные факторы.
Как только мы добились от винтовки повторяемой СТП точно в центре мишени, распределение пробоин в группе будет (как правило) случайным образом располагаться вблизи этой СТП. Размер этого распределения есть повторяемость винтовки. Это то, что упоминается выше как размер группы. Важным предположением тут является предположение об отсутствии большинства внешних факторов, таких как флуктуация скорости пули от выстрела к выстрелу, вызывающей дополнительную вертикальную дисперсию или ветра, вносящего вклад в горизонтальную дисперсию. Так же игнорируем иные влияния окружающей среды на результаты стрельбы.
По настоящему точная винтовка имеет повторяемую СТП точно в центре мишени и малое распределение попаданий вокруг этой точки.

Гауссовское распределение - упрощённая модель распределения попаданий

Ещё одно важное предположение, которое мы сделаем - все попадания вокруг СТП лежат определённым известным способом. Мы выбираем модель Нормального или Гауссовского распределения, знаменитый <колокол>. Естественно, невозможно предположить, что любой взятый патрон или винтовка будут иметь настоящее гауссовское распределение попаданий вокруг СТП. Тем не менее, наблюдения и анализ мишений позволяет автору с высокой вероятностью и точностью применить это распределение при расчёте групп для большинства винтовок и патронов.

Рисунок 2 - Гауссовское (Нормальное) распределение вероятности

На рисунке 2 изображено маштабированное к стандартному гауссовское распределение как плотность вероятности. По оси Х графика отложены отклонения от среднего в единицах стандартного нормального распределения. Площадь под кривой равна единице (иными словами - интеграл данной функции равен единице или вероятность всех возможных событий процесса, описываемых функцией равна 100%). Стандарное отклонение определяет вероятность отклонения значений функции от среднего (в данном случае от нуля). В нашем случае это означает, что если процесс описывается таким распределением, то в 68% всех случаев значения будут лежать в диапазоне [-1, +1], в 95,5% - в диапазоне [-2, +2] и в 99,7% в диапазоне [-3, +3].

Применяя это распределение к нашей симуляционной модели стрельбы из винтовки, считаем точностью винтовки, выраженной в МОА, стандартное отклонение пули от идеальной траектории.

Рисунок 3 - Угол отклонения выстрела от идеального

, где Mean (Perfect) Path - Средняя (идеальная) траектория;
Deviated Path - Траектория отклонения;
Deviation Angle - Угол отклонения траектории полёта пули от идеальной.

На рисунке 3 показан угол отклонения как отклонение траектории пули от прямой (идеальной) траектории. (следует понимать, что эта идеальная траектория не связана с реальной баллистической траекторией полёта пули; для моделирования ситуации принимаем полёт пули от ствола до мишени как полёт по прямой, в любом случае нас интересует лишь отклонение траектории полёта пуль от такой, когда каждая выпущенная нашей винтовкой пуля попадала бы в одно и то же место)

Поскольку большинство стрелков для определения размера группы измеряют расстояние между двумя самыми удалёнными друг от друга пробоинами в этой группе, мы определим угловое стандартное отклонение в нашей модели как двухстороннее станартное отклонение. То есть на нашем рисунке 4 стандартное отклонение от идеальной траектории, обозначенное на рисунке как Cone Angle есть половина от искомого углового отклонения (Clock Angle). Иначе, применительно к нашей виртуальной смоделированной винтовке, если её точность определяется как 1 МОА, то, согласно нормальному распределению, 68,2% всех выстрелов, произведённых из этой винтовки, принесут пули в мишень на дистанции в 100 ярдов в круг диаметром в 1 дюйм, описанный вокруг нашей СТП.

Моделирование и некоторые результаты

Используя программу Matlab, была смоделирована ситуация, когда из винтовки произведено 100000 выстрелов со стандартным угловым отклонением в 1 МОА по мишени, расположенной на рубеже 100 ярдов. Затем было образовано из этих 100 000 выстрелов максимально возможное количество групп по N выстрелов каждая. В каждой группе измерены и записаны расстояния между центрами двух наиболее удалённых пробоин. Были смоделированы группы с количеством выстрелов в каждой от 2 до 20. Затем был выведен средний размер группы для каждой серии групп с одинаковым количеством выстрелов. Например, из 100 000 выстрелов было смоделировано 5 000 групп по 20 выстрелов каждая, замерен размер каждой группы и выведен средний размер для таких групп. (То же самое было сделано для 50 000 групп по 2 выстрела и т.д.) На рисунке 5 показана мишень на момент моделирования после 250 выстрелов. Концентрические круги на мишени нанесены с интервалом в половину дюйма. Заметьте, что большинство попаданий приходится на круг в 1 дюйм в диаметре, хотя есть пробоины и за пределом этого круга. Но большинство пробоин расположены в центре, вблизи идеальной СТП, с незначительным количеством попаданий на краях мишени.

Рисунок 5 - Смоделированная мишень после 250 выстрелов

Гистограмма распределений точек попадания пуль с вышеуказанными условиями представляет особенный интерес (Рисунок 6). Пик наглядно демонстрирует, что наиболее вероятным является попадание в центр с много меньшей вероятностью попадания по краям мишени.
Результат этого моделирования говорит нам, что если стрелок может выстрелить две или более групп по три выстрела с малым размером группы (скажем 0.5 МОА), то затем в следующей группе из трёх выстрелов две пробоины могут быть очень близко, а третья оторвётся на дюйм и более. Распределение показывает нам лишь вероятность отрыва одного попадания от группы, а не вероятность получения группы с малым размером. И это объясняет наличие неожиданно оторванного от малой группы одного попадания (флайера) у конкретной хорошей точной винтовки. Речь не идёт о настоящих флайерах, которые выпадают из описательной модели нормального распределения угла отклонения из-за существенных возмущений модели - таких как повреждённая коронка дульного среза или несбалансированная пуля, а о флайерах, возникающих в соответствии с рассматриваемым нормальным распределением угла отклонения траектории пули от идеальной.
Интуитивно можно придти к очевидному выводу, что трёх выстрелов недостаточно для того, чтобы точно определить истинное распределение в группе для конкретной винтовки или заряда. Правильный вывод - стрелять несколько серий, состоящих, как правило, из групп по пять и выводить среднее из полученных результатов. Как много групп необходимо выстрелить для определения наиболее точной оценки - это задача более глубокого математического рассчёта статистической модели и это тема будущего проекта.

Основываясь на выводах моделирования, автор использует 4 серии по пять выстрелов для окончательной оценки заряда.

Рисунок 6 - Распределение СТП для 100 000 выстрелов.

. .Количество выстрелов в группе

Рисунок 7 - Средний размер группы (в МОА) от количества выстрелов

На рисуноке 7 показано как зависит средний размер группы (в МОА) от количества выстрелов в группе при стрельбе из стандартной минутной винтовки на дистанцию 100 ярдов. Обратите внимание на то, что стреляя группами по три выстрела для определения точности, вы получите в среднем размер группы в 0.83 МОА для минутной винтовки. (чем больше сделано выстрелов, тем более истинно можно говорить о точности винтовки или заряда, однако при этом увеличивается распределение выстрелов вокруг СТП и растёт размер полученной группы. На рисунке 7 изображено какой размер группы нужно считать равный одной минуте в зависимости от количества выстрелов). Иными словами, при измерении размера группы на мишени необходимо учитывать распределение, введя поправочный коэффициент. То есть вы должны измерить размер группы в дюймах и умножить результат на корректирующий коэффициент из Таблицы 1 для того, чтобы получить истинную точность в МОА для винтовки. Помнитие, что при расчётах мы исходили из того, что мишень находится на дистанции 100 ярдов. Для пересчёта результатов на иных стрелковых дистанциях, необходимо разделить 100 на текущую стрелковую дистанцию и умножить на полученный выше (после введения поправочного коэффициента из таблицы 1) результат. Достаточно достоверный результат можно получить стреляя группами по 4 выстрела, поскольку для этого случая поправочный коэффициент близок к единице (0,979).

Таблица 1 - Поправочный коэффициент для измерения размера групп

Результирующее уравнение для определения истинного размера группы приведено ниже:

Дано:

AD - Средний измеренный размер группы (в дюймах)
N - количество выстрелов в группе
CF - Поправочный коэффициент
R - Дистанция стрельбы

MOA= AD x CF(N) x 100/R

Например, ваша винтовка даёт в группах из 5 выстрелов в среднем 0,75 дюйма на дистанции в 200 ярдов. Поправочный коэффициент согласно таблице 1 равен 0,876. Значит ваша винтовка стреляет 0,75 х 0,876 х (100/200) = 0,329 MOA (вместо ожидаемых 0,375 и наоборот - стреляя группу из трёх выстрелов с результатом в 0,75 дюйма на 200 ярдах реальный размер группы следует считать как равный 0,75 х 1,158 х( 100/200) = 0,43 MOA вместо измеренных 0,375)

------
Hunt big or go home.

Originally posted by StartGameN:

Есть вопрос по сути

Originally posted by BGH:

Кому нужны две группы по 5?

Originally posted by OllBY:

Тому, кто стреляет из реальной винтовки а не из станка, в котором исключены все возможные возмущения и только статистическая ошибка вносит свои коррективы в результаты стрельбы.

------
Hunt big or go home.

Originally posted by OllBY:

Это табличное представление графика на рисунке 7 - статистическое отклонение от точности "Одна Минута" в зависимости от количества выстрелов.

Ага, ясно. Это "средние размеры групп, измерянные для различных серий от 2 до 20 выстрелов в каждой, изображены на рисунке 7". А кто этот график получил и на основании какого количества отстрелов? В смысле насколько он статистически достоверный?

Originally posted by BGH:

А какая разница, какой поправочный коэффициент вводить, меньше 1 или больше 1? Статистически и то, и то будет достоверно.

------
Hunt big or go home.

Originally posted by BGH:

получим более достоверный результат, чем выстрелить 3 раза и ввести коэффициент 1.158?

------
результат любого единичного выстрела - непредсказуем (основной постулат метрологии)

Originally posted by OllBY:

Статья о том, что выстрелив 4 раза Минутная Винтовка даст практически один дюйм на 100 ярдах.

2 группы по 5 в этом смысле чем-то отличается?

------
Hunt big or go home.

Originally posted by BGH:

Если винтовка не-минутная (а мы не знаем ее кучность заранее), то сделав 4 выстрела мы просто не знаем, какой применять коэффициент, соответственно эти 4 выстрела нам не дают практически никакой информации о кучности.

Originally posted by Karl1:

Если за 4 выстрела не получена минута, значит винтовка не минутная. Можно даже сказать лучше она стреляет или хуже.

------
Hunt big or go home.

Originally posted by OllBY:

А кто его знает?
А достоверный результат получится уже при первом выстреле - пробоина в мишени.
И достоверный результат чего? Статья о том, что выстрелив 4 раза Минутная Винтовка даст практически один дюйм на 100 ярдах. Три выстрела уложатся в 0,864 дюйма (что автор объявляет 1МОА для трёх выстрелов на основании результатов расчётов для 100 000 выстрелов). А выстрелив 13 раз, согласно Нормальному распределению, образуется группа в 1.628 дюйма (что предлагается считать одной минутой для этого количества выстрелов). Из той же виртуальной винтовки которая всегда даёт минуту.

Вот тут в свете вышеизложенного хотелось бы возразить. Выстрелив четыре раза, минутная винтовка, строго говоря, может дать что угодно, хоть 0,01, хоть 10,0 угминуты - с разной степенью вероятности. Также как и при стрельбе группы из 13. Но интуитивно кажется, что чем больше выстрелов в группе (единичной группе), тем достовернее эта группа отражает разброс винтовки. А вот строго показать это не могу...
И кстати, в статье автор использует термин "минутная винтовка" в ином смысле, не в том, какой принят на нашем форуме: он имеет в виду винтовку со стандартным отклонением 1 угминута. По меркам ганзы такую винтовку следует считать скорее двухминутной.

Originally posted by mihasic:

Одна группа попрежнему остаётся малоинформативной. Более того, молчанием обойдён вопрос о достоверности - а сколько, собственно, групп надо отстрелять для усреднения? Этот вопрос пытался поднять BGH, но вопрос, покачавшись на тонких ножках, бухнулся обратно.

Ранее я пытался поднять еще один вопрос: если отстреляны 2 группы по 5, при оценке кучности нужно ли принимать во внимание смещение СТП, или среднего арифметического хватает?

------
Hunt big or go home.

Originally posted by BGH:

Т.е. для четырех выстрелов коэффициента больше 1 быть не может по-определению?

Originally posted by mihasic:

Но интуитивно кажется, что чем больше выстрелов в группе (единичной группе), тем достовернее эта группа отражает разброс винтовки. А вот строго показать это не могу...

Originally posted by mihasic:

молчанием обойдён вопрос о достоверности - а сколько, собственно, групп надо отстрелять для усреднения?

Originally posted by BGH:

при оценке кучности нужно ли принимать во внимание смещение СТП, или среднего арифметического хватает?

Originally posted by Karl1:

не могу сообразить, рисунок 7 будет справедлив для любой винтовки, или только для минутной.

Originally posted by OllBY:

Среднее арифметическое как матожидание видится мне достаточным. Среднее квадратическое отклонение можно не применять, поскольку тут нет рассеивания (дисперсии) теоретической величины.

------
Hunt big or go home.

sted 23-7-2009 17:07
quote:
Originally posted by mihasic:

молчанием обойдён вопрос о достоверности - а сколько, собственно, групп надо отстрелять для усреднения?

А вот и вовсе не обойдён! Смотреть предпоследний абзац перед гистограммой Рис. 6

"Как много групп необходимо выстрелить для определения наиболее точной оценки - это задача более глубокого математического рассчёта статистической модели и это тема будущего проекта." - Олег, ты об этом? Это, конечно, не молчание, но всё-таки практически применимого содержания в этом высказывании как будто не хватает.. .

Originally posted by OllBY:

Автор расчитывает дисперсию пробоин у виртуальной Минутной Винтовки и предлагает экстраполировать результаты на любую реальную. На любой полученный результат стрельбы - хоть пять минут из СКС-а.

Originally posted by Karl1:

отстрелять одну группу в четыре выстрела, именно одну, а не выбрать одну группу, скажем из 10 (лучшую ), и считать, что она отражает истинную кучность винтовки

Стреляйте и получайте лучшую группу - это и есть кучность винтовки.

Ещё немного и я наконец пойму, что никто статью не читает,

Originally posted by mihasic:

Кучность винтовки - это среднеквадратичное отклонение или любая пропорциональная ему величина

Originally posted by Олег:

Да затопчут меня насмерть, но выскажу иное мнение.
Я полагаю ты имел в виду всё же среднее арифметическое (среднеквадратическое как корень дисперсии тут не нужно - у нас же не цель измерить отклонение размера конкретной группы от средней за всё время или от минутной - у нас результат всегда положителен).
Кучность винтовки - это, выражаясь в терминах автора статьи, повторяемость винтовки, а не умение оператора стрельбы. А усреднение по достаточному количеству групп - попытка минимизировать влияние внешних возмущений. А чем хуже метода Ганзы такой, к примеру, подход - Стрелять группу из пяти и выкидывать из рассмотрения самую отлетевшую пулю. Считать по четырём. Кто сможет оспорить, что отрыв не есть влияние случайного фактора - к примеру систула аритмии (внезапный удар сердца между двумя положенными)?

Топтать не стану. Но, тем не менее, остаюсь при своём мнении.
Once again now...
Винтовка - это совокупность всех её пробоин, причём распределение пробоин описывается гауссом. За ноль принимается СТП, таким образом, винтовка - это просто дисперсия, и ничего больше. Наша задача - найти эту дисперсию. Уж со стрелком или без стрелка - дело пятнадцатое, на методе это не сказывается, поскольку стрелок у нас тоже гауссов.
Автор статьи на основании статистического эксперимента показал, что разлёт УСРЕДНЁННОЙ группы связан с дисперсией неким коэффициентом, то есть задача сводится к нахождению УСРЕДНЁННОЙ группы. А вовсе не единичной. Единичная может оказаться какой угодно - с разной степенью вероятности. И вот тут начинаются трудности - а как эту усреднённую группу искать? Сколько нужно образцов группы, скажем, из пяти, чтобы можно было считать, что средняя из этой выборки близка к средней по всему распределению? Я не знаю. И автор ответа на этот вопрос не даёт, а только обещает в следующей статье.

Кучность винтовки - это среднеквадратичное отклонение или любая пропорциональная ему величина: хоть средняя группа из двух, хоть средняя группа из 13, при условии достаточного количества групп для усреднения (вопрос об этом количестве остаётся открытым).

Originally posted by Karl1:

mihasic
Статистика утверждает, что истенное значение нам знать не дано. Можно только сколь угодно близко подойти к нему.
В одном из упомянутых стандартов есть таблица t критерия Стьюдента.. . глядя на нее понимаешь, что 60 измерений еще имеет практическое значение, а дальше приближение к истине будет ооочень медленным. Это к вопросу о достаточности групп.
Заходить надо с другого конца. Надо определить сначало какая ошибка в измерении допустима.

Дык верно, истина недостижима, но когда мы получаем некое значение, то хотелось бы знать, какова достоверность этого значения. Вот в этой области я профан, критерия Стьюдента не учил.. . Но тем не менее мне почему-то кажется, что одна-единственная группа из 60 позволит с большей достоверностью оценить дисперсию винтовки, чем, скажем, пять групп по три. А почему и как это показать - всё надеюсь, кто-нибудь научит, сам не умею...
А допустимая ошибка - тут всё просто: пусть для определённости допустимая ошибка равна дельта.. . Дальше что делать?

Originally posted by mihasic:

Дык верно, истина недостижима, но когда мы получаем некое значение, то хотелось бы знать, какова достоверность этого значения. Вот в этой области я профан, критерия Стьюдента не учил.. . Но тем не менее мне почему-то кажется, что одна-единственная группа из 60 позволит с большей достоверностью оценить дисперсию винтовки, чем, скажем, пять групп по три. А почему и как это показать - всё надеюсь, кто-нибудь научит, сам не умею...
А допустимая ошибка - тут всё просто: пусть для определённости допустимая ошибка равна дельта.. . Дальше что делать?

А группа меньше средней, верно, искажает подлинную кучность винтовки. Подлинная кучность винтовки - это её дисперсия. Вот хоть ножиком меня режь.
Я, конечно, не суммирую все результаты винтовки, но только потому, что это технически неосущеcтвимо. А знать-то я хочу именно это, именно все результаты винтовки. И речь идёт именно о том, как к этому знанию приблизиться - при выбранном критерии близости, как уточнил Karl1.

Originally posted by mihasic:

поскольку стрелок у нас тоже гауссов

Originally posted by Karl1:

Только вот человек не имеет Гауссого распределения, отсюда и многие неясности.

------
Hunt big or go home.

Originally posted by BGH:

Так "гауссов" у нас стрелок или нет?

От стрелка зависит. Если стрелок старается ка лучше (а выходит как всегда), то он обычно гауссов. А если стрелок поставил себе целью навредить и сознательно лепит то влево, то вправо то он уже и не гауссов. Но и тут природу не обманешь: в принятой модели стрелка-вредителя он окажется суперпозицией двух гауссовских распределений.