Тут спрошу

Как узнать расходы администрации района на определённый объём работ по благоустройству поселения? К примеру, построили детскую площадку, остановку общественного транспорта, отсыпали дорогу, наняли технику для работы по благоустройству, есть законный способ понять цифру потраченных денег?

Вообще-то это и так проверяется государством.
Скажем, в составе Минфина есть контрольно-ревизионные службы, они сверяют и правильность тендеров, и бюджетные расходы, и объем выполненных работ.
При этом проверяющие могут быть не местными, а приезжими. К ним на кривой козе не подъехать.
Скажем, дороги в Тульской области проверяли КРО из Татарстана. А наши местные летали на проверку в Крым.

Вообще-то это и так проверяется государством

Тут маленько другое. Есть подозрение что инициативные граждане поселения собирают с собственников средства на благоустройство, а работы выполняются администрацией. Как проверить, выделялись ли средства на те или иные работы администрацией района и в каком объёме?

Напрашивается решение: запросить информацию в администрации (в городском управлении архитектуры и строительства) либо обратиться в прокуратуру.