Пневматическое оружие
Ликбез для школоты. Формула расчета скорости пули в СО2 пневматике
Конспектируя на досуге труды классиков марксизма - а именно, перечитывая тему Петрухи про пиф-паф, внезапно был облагодетельствован музой на тему матмодели движения пули в стволе.
Моделька получилась забавная, и что самое важное, по большей части аппроксимируемая в линейном приближении. В результате чего из нее удалось извлечь алгебраическую формулу для расчета начальной скорости пули в СО2 пневматике калибром 4.5 мм.
Те, кто имеет инженерный диплом, смогут легко пересчитать коэффициенты для других калибров, а также для воздуха.
Сама формула (редакция от 02.11.2021):
Область применения:
1. Формула (мат.модель) обсчитывает случай, когда накопитель присоединен к стволу герметично, клапан открывается мгновенно и мертвым объемом можно пренебречь. Хотя истины ради следует сказать, что разумный мертвый объем (где-то до 20% от объема накопителя) на конечный результат не сильно повлияет. Подсос из баллона отсутствует.
2. Диапазон длин ствола от 100 до 600 мм. Т.е. что происходит с пулей на первых 100 мм с помощью формулы узнать не удастся.
3. Вес пули от 0.48 до 0.68 гр. Любители стрелять колпачками и ушными палочками остаются за бортом.
4. Давление где-то от 50 до 65 атм. - что соответствует температуре от 16 до 26 по Цельсию.
5. Калибр, как уже упоминалось, только 4.5 мм.
6. Диапазон объемов накопителя от 1см3 до 14см3, вряд ли кто-то станет делать больше. Ограничение снизу в 1см3 оставляет за бортом большую часть магазинных пистолетов, это не значит, что они не поддаются расчету, просто погрешность формулы возрастает.
7. При соблюдении условий п.п.1-6 погрешность находится в пределах 2%. В качестве опорных экспериментальных данных использовались значения, полученные Петрухой.
Было бы интересно набрать статистику совпадений/несовпадений расчетных значений с экспериментом. Вполне возможно, что область применения формулы удастся таким образом расширить. Хотя, конечно, доверия к голословным постам в интернете немного.
Монография опоздала лет на 10! Тогда был период теоретиков.Сейчас пора практиков с готовыми изделиями.
Теория говорит примерно так: энергия = давление * порция_газа * ln (степень_расширения).
Давление в паскалях и объём газа на выстрел в кубометрах, удобно сокращаются до см³ и десятков бар). Степень расширения же есть единица плюс отношение объёма ствола к объёму порции газа (накопителя, если тот сбрасывается полностью). Плотность сжатого CO2 около 0.13 г/см³, тогда реальный расход можно посчитать по числу выстрелов с баллона.
Взяв числа с картинки, имеем степень расширения 2.03, энергию 5.65*6*0.7 = 23.7 Дж и скорость полуграммом примерно 300 м/с. Но 6 кубов это расход примерно 15 выстрелов с баллончика, через ствол столько газа просто не пролезет. Если взять 3 куба на те же 400 мм, получится 5.65*3*1.13 = 17 Дж. Но с реальным газом формула работает без поправок только в крупных калибрах, для 4.5 надо брать эффективность около 65%. Тогда энергии усыхают до 15 и 11 Дж, скорости 244 и 210 м/с. Вполне реально для тёплой погоды.
Из формулы выходит забавное следствие: объём ствола должен быть больше объёма накопителя в от 2-3 до 5-7 раз. Меньше имеется дикий перерасход, больше — лишние габариты, на которые просто не хватает давления. При расширении в 7 раз к дулу от углекислоты остаётся всего 4-5 бар.
quote:Originally posted by ZZton:
Сейчас пора практиков с готовыми изделиями.
Города в Сибири заселять?
quote:Изначально написано John JACK:
Теория говорит примерно так: энергия = давление * порция_газа * ln (степень_расширения).
Что-то я себя чувствую в роли поручика Ржевского, который "пришел и все опошлил". Простой вопрос: какое давление нужно использовать в формуле? Есть два давления: статическое - действующее на стенки ствола, и динамическое - толкающее пулю. Это совершенно разные по своей природе и значению величины.
Если сравнить эти две оценки с моделью, то получается "лапоть сверху, лапоть снизу". При этом, что печально, с циферками от Петрухи ни тот, ни другой не совпадает.
Кстати, ствол от 60ки это сколько мм?
quote:Изначально написано John JACK:
Из формулы выходит забавное следствие: объём ствола должен быть больше объёма накопителя в от 2-3 до 5-7 раз. Меньше имеется дикий перерасход, больше - лишние габариты, на которые просто не хватает давления.
Вот это совершенно правильно, цифры можно уточнять, но сам вывод верный. Одновременно это и ответ на вопрос "зачем нужна теория?" В одной из тем, ТС превратил всю рукоятку РПШ в расширительную камеру (там же объем кубиков на 15), после чего приделал 6-дюймовый ствол и остался страшно горд собою. 
quote:Originally posted by Aliluya:
какое давление нужно использовать в формуле?
Общее, которое манометр показывает. На пулю, тоже являющуюся стенкой, действует сумма статического и динамического давлений. Дебри гидродинамики для примерной формулы не нужны, а точному всё равно не поддаются, их только строить и мерить. Можно учесть что расширение газа в стволе есть среднее между изотермическим (p=1/l) и адиабатическим (p=1/l^1.3), но действительный теплобмен опять только мерить, что требует недоступной точности приборов.
Ствол у 60 чуть меньше 450 был. 5*6*0.77= 23 Дж, с коэффициентом 65% 15 Дж, то есть 250, 340 и таки 210 м/с петрухиными пулями. Для колпачка понятно врёт, для нормального веса близко к реальности. Расширение всего в два раза — таки дикий перерасход, и вот я ещё вспомнил, что для него надо энергию самого газа вычитать*. В 6 см³ 0.8 г углекислоты, больше чем весит пуля.
quote:Originally posted by Aliluya:
всю рукоятку РПШ в расширительную камеру
Такая камера хорошо работает для теплообмена, но перед стволом газ ещё должен пролезть через узкий канал до клапана. Даже если бы он это успевал за время выстрела, канал даёт падение давления. Получается кубик на 50 бар из клапана и 15 кубов из рукоятки на 10-20 бар. И просто с полупустым баллончиком то же самое.
* — вместо потолочной поправки в процентах пересчитал энергию, прибавив к массе пули половину массы газа. Считая, что вторая половина упирается в казну ствола и стоит на месте. Из 23 Дж с массами 0.88, 0.68 и 1.08 получил 227, 258 и 206 м/с. С точностью до выбранного 50 бар давления.
quote:Изначально написано John JACK:
Общее, которое манометр показывает.
Манометр показывает статическое - то, которое испытывает сам. А на движущуюся пулю давление намного меньше. Когда въезжаешь в зад впереди движущегося автомобиля, то сила удара пропорциональна разнице твоей и автомобиля скоростей, а не абсолютной скорости по спидометру.
С пулей то же самое. Давление в стволе еще может быть огого, а пуля уже перестала разгоняться, потому что молекулы газа в зад ее слишком слабо долбят.
Поэтому теории, опирающиеся на статическое давление в манометре, всегда будут давать сильно завышенный (неработоспособный) результат. Предлагаемая же формула гораздо точнее - до 2 м/с в центре области применения и до 5 м/с по краям.
Хотя, как я вижу, графическая форма подачи материала неожиданно превратилась в непреодолимый тест на интеллект для большинства эйрганнеров. Похоже, что никто перенести ее в эксел не смог.
quote:Originally posted by Aliluya:
А на движущуюся пулю давление намного меньше.
Да, но нет. "Намного" меньше оно ставится когда пуля движется со скоростью, сравнимой со скоростью молекул газа, которая не меньше скорости звука в этом газе. Пока скорость пули дозвуковая, давление газа на неё действует прекрасно. В примере на автомобилях, мало разницы въехать в стоящий или едущий трактор, особенно когда тебе в зад влетит ещё целый паровозик таких же машин.
К тому же динамическое давление берётся откуда? Именно из общего давления! Газ к дулу разогнался, но давление его не пропало бесследно (не считая расширения и потерь от гидравлического сопротивления), оно перешло из статического в динамическое. Основы гидродинамики же.
В порядке ликбеза: общее давление потока измеряется манометром, направленным против движения. Ровно там, где у нас пуля. Статическое — манометром, перпендикулярным стенке, а динамическое в трубе напрямую действует ни на что, измеряется оно только как разность между общим и статическим.
quote:Originally posted by Aliluya:
Предлагаемая же формула гораздо точнее - до 2 м/с в центре области применения и до 5 м/с по краям.
…на одном конкретном наборе данных? Эмпирические формулы имеют право на, но когда основаны на достаточно обширной статистике. В отличие от
Скромно замечу, что у меня прямо здесь получился результат таки заниженный, а никак не наоборот.
quote:Изначально написано John JACK:
:на одном конкретном наборе данных? Эмпирические формулы имеют право на, но когда основаны на достаточно обширной статистике. В отличие оттеоретическиханалитических, работающих примерно, но в любом произвольном случае.
Скромно замечу, что у меня прямо здесь получился результат таки заниженный, а никак не наоборот.
Сергей, все ровно наоборот:
1. Это у меня модель работает "в любом произвольном случае" (см.таблицу). И не примерно, а довольно точно.
2. Предлагаемая тобой формула "давление умножить на объем накопителя умножить на логарифм степени расширения" показывает черти что. И даже если волюнтаристски вводить "коэффициент эффективности 0.65", то и с ним точность окажется намного хуже.
Поскольку колпачки относятся к нелинейной части модели, я сделал два столбца: скорость, исходя из модели, и скорость, рассчитанную по формуле (как упрощенной модели).
Первый набор данных:
Второй набор данных:
Рискну утверждать, что любой последующий набор покажет хорошую точность предлагаемой формулы.
quote:Изначально написано John JACK:
Да, но нет. "Намного" меньше оно ставится когда пуля движется со скоростью, сравнимой со скоростью молекул газа, которая не меньше скорости звука в этом газе. Пока скорость пули дозвуковая, давление газа на неё действует прекрасно.
Открою большой секрет: для накопителя 6см3, стартового давления 56.49атм (+20С) и пули 0.5г давление, испытываемое пулей, падает в 2 раза на расстоянии 60мм от места старта. В этот момент пуля имеет скорость всего лишь 125м/с.
Статическое давление же падает вдвое на расстоянии 285мм, в это время давление на пулю составляет 19% от стартового, а ее скорость 206м/с
Вот реальная картина внутри ствола (желтым цветом отмечен линейный участок, описываемый формулой, зеленым - риски длины ствола 10, 20, 50, 100, 150, 200, 300, 400, 500, 600 мм)
Кстати, небольшой прикладной результат. Многих кулибиных интересует вопрос, какой объем накопителя следует заложить при проектировании, чтобы достичь нужной скорости?
С помощью формулы таблица скоростей строится элементарно.
Левый столбец - длина ствола, верхняя строка - объем накопителя.
145 мм - ствол от 651-го,
220 мм - ствол ИЖ-53,
450 мм - ствол ИЖ-61,
600 мм - вальтеровская заготовка.
Цветная часть таблицы показывает, сколько м/с еще остается до идеала при заданных параметрах. За идеал взята скорость с накопителем 14см3, поскольку дальше она практически не растет.
Глядя в таблицу, можно выбрать баланс между скоростью и перерасходом.
Красным подсвечены ячейки меньше 10м/с до идеала, зеленым - больше 15м/с. Между 10 и 15 - желтым.
Второй интересный факт: энергия, сообщаемая пуле (принимаемая пулей), зависит от ее массы. В частности колпачки при прочих равных условиях будут иметь кинетическую энергию почти в 2 раза меньше, чем пули с массой 0.68г.
Многие почему-то считают, что расширяющийся газ при фиксированной длине ствола сообщает пуле одинаковую энергию. Но это не так. Хотя отличие в энергиях для пуль 0.5г и 0.68г действительно невелико.
quote:Изначально написано John JACK:
Теория говорит примерно так: энергия = давление * порция_газа * ln (степень_расширения).
Кажется, я нашел, где тут собака порылась. Формула взята из книги "Пневматическое оружие от спускового крючка до мишени" и как обычно широко пошла цитироваться теми, кто в ней ничего не понимает. Не берусь судить, из каких соображений автор книги вывел вышеупомянутую формулу, но к СО2 пневматике, как показывает практика, она слабо применима. Хотя содержит рациональное зерно. Произведение P*V - давление на объем - это с точностью до коэффициента внутренняя (полная) энергия газа. Не путать с кинетической энергией всех молекул, которая лишь часть ее.
Казалось бы, вот решение искомой задачи - известно произведение P1*V1 для начального состояния газа, если посчитать P2*V2 для момента вылета пули из ствола, то разность внутренних энергий будет равняться энергии пули, а зная энергию, рассчитать скорость проблемы не составит.
Однако, не все так просто. Посчитать Р2 из уравнения адиабатическрого процесса не выйдет, т.к. реальный показатель адиабаты не только неизвестен, но еще и меняется по мере продвижения пули по стволу. Если использовать усредненное значение из справочника, то в результате получится чушь, не совпадающая с экспериментом.
Единственным параметром, с которым показатель адиабаты связан линейной зависимостью, является скорость пули
В итоге образуется замкнутый круг: чтобы посчитать скорость пули, надо знать показатель адиабаты, а чтобы рассчитать показатель, нужно знать скорость пули.
Ну накопитель может быть с подвижной стенкой, при этом объем накопителя выплескивается весь при давлении ресивера.
Обновил первый пост. Первоначальную формулу удалось сильно упростить.
quote:Изначально написано иваныч:
Ну накопитель может быть с подвижной стенкой, при этом объем накопителя выплескивается весь при давлении ресивера.
Собственно, из этого предположения модель и строилась. У Петрухи есть сравнение скоростей для накопителей с подвижной стенкой и без. Со стенкой скорости чуть-чуть пониже. Видимо стенка позволяет не столько выплескивать весь накопитель (это и так происходит), сколько ограничивает подсос из баллона.
Небольшой ликбез на тему скорости звука. Почему-то большинство эйрганнеров свято убеждены, что любой газ, включая СО2, расширяется со скоростью звука. На самом деле это не так. Скорость расширения близка, но совсем не равна скорости звука, да и по большому счету это две разные величины, имеющие разный физический смысл.
Скорость звука - это скорость распространения механических продольных волн (!), НЕ сопровождающихся переносом вещества. Строго говоря, замерять или рассчитывать скорость звука имеет смысл только в однородной статической среде. Чем турбулентный поток углекислого газа в стволе никак не является. Понятие скорости звука в таких условиях просто теряет смысл. Ее (скорость) физически невозможно ни замерить, ни рассчитать (гипотетически можно было бы составлять таблицы скоростей для каждой точки пространства и каждого момента времени, но и они будут отличаться от эксперимента к эксперименту).
В то же время скорость расширения (истечения) газа является вполне наглядной, замеряемой, рассчитываемой и воспроизводимой величиной. Чему она равна?
Для ответа на этот вопрос нужно определить скорость, с которой движутся молекулы газа. Будем считать, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью в произвольных направлениях. Кинетическая энергия всех молекул равна
Eмол. = m*Vдв.^2/2 = 3/2*m/mu*R*T
где:
m - масса газа
mu - молярная масса, в случае углекислоты равная 0.044 кг/моль
R - газовая постоянная
T - абсолютная температура
Vдв. - значение скорости, с которой движутся молекулы
отсюда
Vдв. = КОРЕНЬ(3*R*T/mu)
Для температуры T = 293.15K
Vдв. = 408 м/с
Скорость расширения/истечения газа есть среднеквадратичная скорость движения молекул и равняется Vдв., деленная на корень из двух (кто ответит на вопрос 'почему так?', подсказка: тут есть связь со степенями свободы).
Соответственно, она равна Vист. = 288 м/с (для температуры 293.15K) - вот ее пуле превысить тяжело. А т.н. 'сверхзвук' - сколько угодно.
Я логарифмы в уме вычислять не умею, но точно знаю (никогда своими глазами не видел) на практических конструкциях (читай - винтовках) скорости полуграммовой пули, толкаемой СО2 из 45 см ствола при температуре не выше +30 градусов, более 240 м/с.
Если у кого получилось - покажите (на видео) и расскажите как! Ну, заодно и формулу свою проверьте... Хотя, по Петрухе примерно так и получается.
quote:Изначально написано AAK.1771:
... Хотя, по Петрухе примерно так и получается.
Ну вот Вы сами и ответили на свой вопрос. 
Собственно, вся эта тема не стоила бы ничего, если б не один маленький нюанс - формула-то (т.е. модель) реально работает.
quote:Originally posted by Aliluya:
формула-то (т.е. модель) реально работает.
В указанном мной частном случае - да. На других длинах ствола - не факт.