Задача о зацеплении зубчатых колёс

Здравствуйте, умные головы!
Прошу Вашей помощи в решении задачи об условиях сборки зубчатых колёс ( см. чертёж). Дано: z1, z2, z3 и, соответственно модуль m. Требуется найти координаты центров z2 и z3 при условии отсутствия интерференции зубьев. Желательно решение не подбором, а в общем виде. Не могу сообразить как подойти к решению. Знаю условие сборки планетарной передачи, по-простому - выполняется. Проверка прорисовкой не подтверждает правильность решения. В реальной конструкции нашли решение путём подбора, но получилось оно некорректное. Хочется найти научное решение. Можно сказать - дело чести, найти решение в общем виде для любых чисел зубьев или найти условие сборки и ограничение по числам зубьев. Кто сталкивался с подобной задачей, или знает решение, или думает что знает, прошу поделиться идеями.

Видимо задача имеет ограниченное число решений. Для начала я бы рассмотрел Z1 и Z3 равны или кратны. А вообще думать надо

Да, Вы правы. Реально решения дискретны, а подходит только одно. В реальной конструкции подобрано решение, но есть сомнения, что не совсем корректно. В реальной машине z1=48, z2=20, z3=24, m=1,5. Думается, в формуле будет коэффициент, к примеру, n=1, 2, 3 и т.д. Т.е. по аналогии с условием сборки планетарной передачи: что-то чему-то будет кратно с к-том n. Как-то так.
Поясню про реальный механизм: в колесе z1 сделан сквозной паз до внутреннего отверстия и часть зубьев отсутствует. Паз сделан для прохода изделия внутрь вращающегося колеса z1. Для того, чтобы кинематика не разрывалась, введена зеркальная ветвь для перехвата через паз от ведущего колеса z3.

Originally posted by 437:

при условии отсутствия интерференции зубьев. Желательно решение не подбором, а в общем виде.

Originally posted by ag111:

А вообще думать надо

Обратитесь к Пилерману, тем более он доступен.

Обратитесь к Пилерману, тем более он доступен.

Спасибо! Где его искать?

А разве такая система зубчатых колёс будет вращаться?

Будет, куда она денется!

Originally posted by 437:
z1=48, z2=20, z3=24,

Думать конечно лень, но может число зубьев взять 2**N ? z2=z3=2**(N-1)

А вообще где-то в природе существует справочник машин и механизмов во многих томах. Стоит найти и посмотреть.

Просматривал книги по ТММ. Нужной информации пока не нашёл. Есть теория зацепления ( про то, почему эвольвента), есть сборка планетарных передач, но вот как соединить эти теории в нужную мне формулу, сообразить не могу. К выводу о необходимости совершать мыслительные усилия мы тоже пришли. Это радует, хоть какой результат!

Originally posted by 437:

Где его искать?

Григорий Яковлевич Перельман в настоящее время проживает в Купчино - исторический район Санкт-Петербурга.

Прошу прощения у Григория Яковлевича за ошибку в написании его фамилии.

Спасибо! Не слишком круто - талант Г. Я. Перельмана тратить на такую пустяковую задачу? А мы сами? Слабо? Или мы не советские инженеры?
PS Мой папа в подобных случаях повторял известную фразу: "Нет таких крепостей.... (С) далее по тексту.
PPS Прошу в моих текстах расставлять "смайлики" по собственному разумению.. .

мдааа...
тригонометрию вовсе забыли, двоечники. двойку в зачотку

расчёт такой системы тупо зависит от угла ВАД ну или от ВСД.
задайте угол потребный и будет вам всё остальное. точнее вы сможете посчитать
катет АС.
катеты АВ и ВС тупо известны из расчёта межосевого расстояния. это полусумма делительных диаметров.
дальше сами догадаетесь, учебник геометрии за 8 класс. прилежащий угол и прочая..
ну двоечники.. ну прогульщики.. .

ну а при чём тута шестерни. Для упрощения решения можно их заменить на колёса.. .

Originally posted by Serjant:
[B][/B]

И что, при любом угле зубчики совпадут?

И что, при любом угле зубчики совпадут?

В том-то и дело, что треугольники посчитать легко. Тригонометрию ещё помним. Но вот зубчики совпадут только при соблюдении определённых условий. А каких условий - пытаемся понять... Возникла идея: решение должно получиться в результате решения квадратного уравнения. Типа - экстремум, оптимальная точка.. . Всё дело за светлой головой, которая составит это уравнение.

Если представить вместо зубчатых колёс фрикционную передачу с дисками равными делительным диаметрам зубчатых колёс, то расчёт, действительно, заключается в простой тригонометрии, поскольку фрикционные диски не имеют дискретности как зубчатые колёса. Для зубчатых колёс обязательно выполнение условия сборки.

чтобы говорить о зубчиках - оних нужно оговорить ОСОБО.

Ведь можно принять шестерни в виде колёс диаметр 1м и зубчиков на них высотою 0,1мм.

В принципе надо формализовать условия совпадения зубцов. Для трех разных чисел зубцов сложно. Для понимания проблемы советую упростить задачу

Думать конечно лень, но может число зубьев взять 2**N ? z2=z3=2**(N-1)

Условие неоптимальное, так как будут встречаться одинаковые зубья, но решение ИМХО найти проще.

Хорошо, для упрощения можно принять все числа зубьев одинаковыми. Или вообще, представить одно из колёс z1 или z3 зубчатой рейкой с бесконечным количеством зубьев! Как тогда формализовать задачу?

2**N

Это означает 2 в степени N?

Да.

А если все шестерни одинаковы, то задача тривиальна.

Формализовывать не буду, только за зарплату

А если все шестерни одинаковы, то задача тривиальна.

Я готов признать собственную тупость! Ткните, пожалуйста , носом в формулу собираемости.
PS Это ли не высший приз - доказательство тупости оппонента?

Originally posted by 437:

Я готов признать собственную тупость! Ткните, пожалуйста , носом в формулу собираемости.

Ну только число зубьев должно быть кратным четырем. Тогда из соображений симметрии. Вроде.

Мне славы не надо, высказываюсь так, на основании интуиции.

Мне славы не надо, высказываюсь так, на основании интуиции.

Хорошее название: "Правило собираемости замкнутых передач AG111"
Смайлики ставьте сами.. .

Ну что идей нет?

Похоже задача решаема для любых шестеренок, но расстояние между осями будет получаться решением. Что не есть хорошо. Надо использовать принцип симметрии для замыкания системы шестеренок. > <

Идея родилась следующая: при обкатывании колеса z2 вокруг центра колеса z1 (как сателлит на водиле) из положения В в положение В1, угол поворота колеса z2 должен составить целое число шагов 360/z2. И, одновременно, угол поворота z3 после поворота z2 тоже должен составить целое число своих шагов.Проверил эту идею. Для моих чисел зубьев и исходного угла размещения z2 (60 град) вышеупомянутое условие выполнилось. Проверил условие для произвольного угла в 50,3 градуса. Тоже выполнилось. Увы! Думаем дальше.

Ставим шестеренки 1 и 3 навстречу друг другу зубьями. > <

Накладываем шестерню 2. Считаем межосевое расстояние между 1 и 3.

Вторая шестерня 2 станет из соображений симметрии.

Обсуждение этой задачи в рабочем коллективе, привело к пониманию одной интересной детали: не обязательно зацепление в месте контакта имеет вид "зуб во впадину" со 100% совпадением. Фаза зацепления может быть любая, некратная единице. Поэтому можно говорить о некоем условии для всей системы а не конкретной пары. Например, сумма чисел зубьев всех колёс в зацеплении должна быть кратна 360 град с целым множителем. В моём случае это условие не выполняется. Завтра на работе проверю прорисовкой.

Накладываем шестерню 2. Считаем межосевое расстояние между 1 и 3.

Пробовал в Автокаде. Есть прога рисующая профили зубчатых колёс по модулю и числам зубьев в зацеплении. Использовал её для Солида. Подбор и проворачивание каждого колеса на хитрый маленький угол - тёмное дело. Хочется результат на кончике пера а не интуитивный.

Originally posted by 437:

Пробовал в Автокаде. Есть прога рисующая профили зубчатых колёс по модулю и числам зубьев в зацеплении. Использовал её для Солида. Подбор и проворачивание каждого колеса на хитрый маленький угол - тёмное дело. Хочется результат на кончике пера а не интуитивный.

Если я не ошибаюсь в модели, то результат строгий. Что не так? Эту систему нельзя собрать для любого межосевого расстояния, а только такого, которое шестерни позволят.

Расстояние рассчитывается математически строго. Никаких малых углов при расчете не используется. Тригонометрия 6-го класса. Вот определить какие зубья зацеплены можно примерно и в Солиде.

Условием сборки является симметричность системы относительно линии, соединяющей оси шестеренок 1 и 3. Проще проследить по вершинкам зубьев на этой линии. А задачу зацепления трех шестеренок с доп. условием решайте сами.

--->------<--

Продолжаем занятия по ТММ!

А если все шестерни одинаковы, то задача тривиальна.

Прорисовка для 4-х и 3-х колёс показала, что 3 и 4 ОДИНАКОВЫХ колеса зацепляютс между собой при любых значениях чисел зубьев. Правда зацепление из 3-х колёс не может вращаться, но сам факт интересен

Методом последовательных приближений получены результаты по реальным числам зубьев. Самое интересное, что углы и размеры настолько "неровные", что понять закономерность и вывести формулу не представляю как.

ИМХО, надо разделить данный редуктор на 2 части АВ и ВС. По стандартным формулам расчитываете межосевые расстояния АВ и ВС. Расстояние АС берёте произвольным, учитывая размеры колёс. Передаточное отношение редуктора будет Z3/Z1, соответственно размер промежуточного колеса не влияет ни на что.
Про собираемость.
Если мне не изменяет склероз, то вашу передачу можно усложнить до планетарной, с центром в точке А с остановленным водилом. Т.е. АВ - радиус водила. Z3 - разворачиваем в рейку и выгибаем в другую сторону.
Соответственно, что бы обеспечить условия собираемости, сумма зубьев основных колёс должна быть кратна числу сателитов, т.е. 2.

Совершенно не понял глубину проблемы данной задачи. Тут или всё слишком просто или слишком хитро.

Тут или всё слишком просто или слишком хитро.

К моему большому сожалению, при обсуждении этой проблемы в трудовом коллективе, не сдержался и на заявление , что решение задачи элементарно, в сердцах сказал что уволюсь нах раз я такой тупой и решение элементарно! потом страсти поутихли и обсуждение продолжилось. НО! НО! теоретическое решение найдено не было! придётся ещё пообременять своей несносной натурой наш дружный коллектив.Да, Вы правы, межосевые расстояния в зацеплении пары колёс находятся легко.И правило сборки центральных колёс планетарной передачи мне также знакомо. Но в этой задаче оно неприменимо, поскольку , на самом деле сателлитов здесь не два ( двое колёс, но не два сателлита) а число их равно 360 градусов делённое на угол между АВ и АВ1. А этот то угол и есть искомое! Расстояние АС нельзя брать произвольно, оно должно рассчитываться из условия сохранения межосевых (по аналогии с условием соосности планетарных передач) и условия вхождения в зацепление колёс 16 2 и 3. Решений для данных чисел зубьев всего 3. Лежат они в диапазоне от соприкосновения колёс 1и 3, до соприкосновения колёс 2 и 2. Продолжаем разговор (с).

Вы там чего обкурились?
нет тут никаких специфических условий собираемости в силу зеркальной симметрии.

Serjant правильно все сказал

Originally posted by 437:

на самом деле сателлитов здесь не два ( двое колёс, но не два сателлита) а число их равно 360 градусов делённое на угол между АВ и АВ1. А этот то угол и есть искомое!

Да, упустил это из виду. Но кто мешает задать этот угол (определить кол-во сателитов) и дальше отталкиваться от этого значения. Т.е. жёсткие условия будут - коэффициэнт редукции и межъосевое расстояние АС (если оно критично) и дальше играем размером колёс.

Originally posted by unname22:

нет тут никаких специфических условий собираемости в силу зеркальной симметрии.

Симметрия получается только при определённых отношениях размеров механизма (например как на рисунке). При иных параметрах симметрии может не получиться.

Например?

Нашёл решение этой задачи в книге Решетова "Самоустанавливающиеся механизмы". Даже сосканировал нужные страницы и размещу их щдесь. там рассматривается общий случай задачи с промежуточными колёсами разной величины. решение сводится к решению обращённого планетарного м-ма и нахождению положения последнего 3-го колеса по условию сохранения межосевых и кратности угла поворота 3-го колеса соотношению 360 градусов делённое на число зубьев колеса 3. Теорию проштудировал основательно, всё равно метод решения предполагает задание первоначального положения линии соединяющей 1 и 2, построение треугольника и сравнение результата с фазой колеса 3. Такие механизмы применяют в тепловозных приводах, там, где есть колёса с неполным венцом и т.д. Числа зубьев могут быть любые, и неравные и некратные. Но положение (координаты центров) колёс будет строго определённым для каждого случая. Произвольно задать координаты центров, даже соблюдая расчётные межосевые, нельзя!
Парадокс вот в чём! Наложение прорисованных колёс с профилем зубьев на просчитанное по формулам положение центров не дало совпадения! И наоборот, найденное по зацеплению зубьев положение не удовлетворяет условиям формул. Значит, где-то ошибка! Будем искать.

Решение вроде элементарно, я его вроде изложил. Набор шестерен жестко задает межосевое расстояние. Задаешь три целых числа - получаешь некое нецелое в общем случае межосевое расстояние.